Existen multitud de ocasiones en que debemos multiplicar un número por sí mismo una cantidad determinada de veces... y esto es aburrido. Por ejemplo, el volumen de una caja de dimensiones iguales en altura, anchura y profundidad (dígase un cubo) es esa longitud multiplicada por sí misma tres veces.
Por ello, los babilonios en el siglo 18 A.C. ya pensaban en usar una operación denominada potencia para facilitar este cálculo. Consistía en multiplicar un número, llamado base, por sí mismo tantas veces como decía otro número, llamado exponente. Para los babilonios, y los árabes posteriormente, esta función se limitaba a las bases 2 y 3, que eran las más utilizadas.
En el siglo XVII, Descartes introdujo la notación actual para la función potencia que consiste en escribir el exponente en menor tamaño que la base y sobre él de la siguiente forma:
En este ejemplo hablaríamos de 2 elevado a 3 (o al cubo) y sería igual que multiplicar 2x2x2 = 8. Por ello es mucho más rápido hablar de potencias.
Aunque la base y el exponente pueden usar muchos tipos de número empezaremos por los números reales para la base y los enteros para el exponente.
La potencia se lleva bastante bien con el producto y la división. Por ello es interesante comprobar cómo se comportan estas operaciones entre sí.
Si una potencia se multiplica con otra potencia veremos que pasa. Existen tres casos:
1. Que las bases sean iguales:
El producto de potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de potencias
Esta propiedad es cierta también para el cociente de potencias de igual base.
2. Que los exponentes sean iguales:
El producto de potencias de igual exponente es igual al producto de las bases elevado al exponente común.
Esta propiedad es cierta también para el cociente de potencias de igual exponente.
3. Que ni exponente ni base sean iguales, con lo cual hay que calcular cada potencia por separado.
Además de estas propiedades conviene fijarse en la potencia de una potencia:
La potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes.
Como puedes imaginarte ni la suma ni la resta de potencias se pueden simplificar en operaciones más sencillas (¡lo siento!).
Si el exponente tiene signo negativo, debemos suponer que algo cambia en la operativa. Efectivamente, ahora la potencia no consiste en una multiplicación repetida, sino una división repetida.
Así que, un exponente negativo en una potencia implica el inverso de la potencia. Conviene no confundir el inverso con el opuesto, la potencia negativa no cambia el signo del resultado (¡es un error muy habitual!).
Si ahora tomamos el producto de una potencia por ella con el exponente cambiado de signo (opuesto):
Al ser iguales ambas expresiones en su partida, son iguales en su resultado. Por tanto, cualquier número elevado a cero es igual a 1:
De esta forma puedes ver que un número, por grande que sea, elevado a cero siempre da uno.
En fin ya ves que el mundo de las potencias es apasionante y te lo puedes encontrar en los megas, gigas y teras de nuestros ordenadores cada día (¿sabes qué relación hay entre estas cantidades? Mira el enlace).
Por hoy esto es todo. No olvides enviar tus comentarios y continua tomando potencia hacia el mundo de las Matemáticas.
Un saludo.
J. Carlos Avendaño
Ingeniero y profesor
Esta propiedad es cierta también para el cociente de potencias de igual base.
2. Que los exponentes sean iguales:
El producto de potencias de igual exponente es igual al producto de las bases elevado al exponente común.
Esta propiedad es cierta también para el cociente de potencias de igual exponente.
3. Que ni exponente ni base sean iguales, con lo cual hay que calcular cada potencia por separado.
Además de estas propiedades conviene fijarse en la potencia de una potencia:
La potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes.
Como puedes imaginarte ni la suma ni la resta de potencias se pueden simplificar en operaciones más sencillas (¡lo siento!).
Si el exponente tiene signo negativo, debemos suponer que algo cambia en la operativa. Efectivamente, ahora la potencia no consiste en una multiplicación repetida, sino una división repetida.
Así que, un exponente negativo en una potencia implica el inverso de la potencia. Conviene no confundir el inverso con el opuesto, la potencia negativa no cambia el signo del resultado (¡es un error muy habitual!).
Si ahora tomamos el producto de una potencia por ella con el exponente cambiado de signo (opuesto):
En fin ya ves que el mundo de las potencias es apasionante y te lo puedes encontrar en los megas, gigas y teras de nuestros ordenadores cada día (¿sabes qué relación hay entre estas cantidades? Mira el enlace).
Por hoy esto es todo. No olvides enviar tus comentarios y continua tomando potencia hacia el mundo de las Matemáticas.
Un saludo.
J. Carlos Avendaño
Ingeniero y profesor
